
\documentclass{article}
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\def \go{\char"AB ~\ignorespaces}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A 8 B. MATRICES}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\begin{center}
\fbox{{\large MATRICES}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item : Calculer si c'est possible :

\begin{enumerate}
\item $\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\ 
-4 & 5 & -6 \\ 
7 & -8 & 9%
\end{array}
\right] ^{2}\quad ;\quad \left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\ 
4 & -5 & 6%
\end{array}
\right] ^{2}\quad \quad $

\item $\left[ 
\begin{array}{rr}
1 & i \\ 
-i & 0%
\end{array}
\right] \left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & i & 0 \\ 
i & -1 & 2%
\end{array}
\right] $

\item $\left[ 
\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\ 
2 & 1 & 2 \\ 
1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{ll}
1 & 0 \\ 
0 & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] -\left[ 
\begin{array}{lll}
2 & 1 & 2 \\ 
1 & 2 & 3 \\ 
1 & 2 & 1%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{ll}
1 & 0 \\ 
0 & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] $
\end{enumerate}

\item Soient $A,B;C$ trois matrices de formats respectifs, $\left(
n,p\right) ,\left( p,q\right) ,\left( q,r\right) $ ; on veut effectuer le
produit $ABC.$

\begin{enumerate}
\item Combien de multiplications effectuera-t-on si l'on calcule $\left(
AB\right) C$ ? Et si l'on calcule $A\left( BC\right) ?$

\item Pour calculer $\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 0 \\ 
-1 & 1 & 2 \\ 
0 & -1 & 3 \\ 
2 & 1 & 1%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\ 
-1 & 0 \\ 
2 & 1%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -1 & 2 \\ 
0 & 1 & -2 & 4%
\end{array}%
\right] ,$ que choisit-on ?
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Une matrice carr\'{e}e $A$ est dite triangulaire sup\'{e}rieure
lorsque : 
\begin{equation*}
i>j\Rightarrow A\left( i,j\right) =0.
\end{equation*}%
Montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup\'{e}rieures de m%
\^{e}me ordre est encore une matrice triangulaire sup\'{e}rieure, et d\'{e}%
terminer les termes diagonaux de ce produit. Que peut-on dire de l'ensemble $%
\mathcal{T}_{n}\left( K\right) $ des matrices triangulaires sup\'{e}rieures
? Quelle est sa dimension ?

\item M\^{e}me question pour les matrices triangulaires inf\'{e}rieures.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] ^{n}$ pour $n$ entier $\geqslant 1.$

\item O\`{u} est l'erreur dans le calcul suivant ?

$\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] ^{n}=\left( \left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right] +\left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right] \right) ^{n}=\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right] +n\left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
n & 1%
\end{array}%
\right] $

donc \fbox{ $\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] ^{n}$}$=\left( \left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] +\left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] \right) ^{n}=\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] ^{n}+n\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
1 & 1%
\end{array}%
\right] ^{n-1}\left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] $

$\qquad \qquad \qquad =\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
n & 1%
\end{array}%
\right] +n\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
n-1 & 1%
\end{array}%
\right] \left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
n & 1%
\end{array}%
\right] +n\left[ 
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 
0 & n-1%
\end{array}%
\right] =$\fbox{$\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & n \\ 
n & n^{2}-n+1%
\end{array}%
\right] $}
\end{enumerate}

\item Soient $A,B\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ deux matrices
qui commutent.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall k\in \mathbb{N}\;\;A$ et $B^{k}$ commutent. En d%
\'{e}duire que tout polyn\^{o}me en $A$ commute avec tout polyn\^{o}me en $%
B. $

\item Montrer que si $B$ est inversible, $A$ et $B^{-1}$ commutent.

\item Soit $A=\left[ 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right] $ ; d\'{e}terminer une matrice $B$ qui commute avec $A$ et qui n'est
pas un polyn\^{o}me en $A.$
\end{enumerate}

\item : Soit $A\in \mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{K}\right) $ ; on demande
de d\'{e}terminer une matrice carr\'{e}e telle que le produit (\`{a} gauche
ou \`{a} droite, c'est \`{a} vous de le d\'{e}terminer) de cette matrice
avec $A$ ait pour r\'{e}sultat d'

\begin{enumerate}
\item \'{e}changer les lignes $k$ et $l$ de $A.$

\item \'{e}changer les colonnes $k$ et $l$ de $A.$

\item ajouter \`{a} la ligne $k$ de $A$ le produit par $\lambda $ de la
ligne $l.$

\item ajouter \`{a} la colonne $k$ de $A$ le produit par $\lambda $ de la
colonne $l.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soient $A\in \mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{K}\right) $ et $B\in 
\mathcal{M}_{q,r}\left( \mathbb{K}\right) .$ A quelle condition les produits 
$AB$ et $BA$ sont-ils possibles tous les deux ? Quelle est alors le format
des deux matrices $AB$ et $BA$ ?

\item V\'{e}rifier que le produit $A^{t}$\negthinspace $A$ est toujours
possible, et donner la particularit\'{e} de cette matrice produit. Quelle
particularit\'{e} suppl\'{e}mentaire a la diagonale de $A^{t}$\negthinspace $%
A,$ lorsque $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une matrice colonne $\in \mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{K}%
\right) $ telle que $^{t}XX$ (qui est un \'{e}l\'{e}ment de $\mathbb{K})$
est non nul ; calculer le carr\'{e} de la matrice $P=\dfrac{1}{^{t}XX}%
X^{t}X. $

\item En d\'{e}duire le carr\'{e} de la matrice $S=2P-I_{n}$ .

\item Montrer que si $X,Y\in \mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{K}\right) ,$ 
\begin{equation*}
X^{t}X=Y^{t}Y\Leftrightarrow Y=\pm X
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item : Soient $A,B\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ deux
matrices sym\'{e}triques.

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple o\`{u} $AB$ n'est pas sym\'{e}trique.

\item Trouver une condition n\'{e}cessaire et suffisante sur $A$ et $B$ (ne
faisant pas intervenir de transposition), pour que le produit $AB$ soit
encore sym\'{e}trique.

\item Que dire de $AB+BA$ et $AB-BA$ ?

\item Les puissances successives de $A$ sont elles sym\'{e}triques ?

\item Si $A$ est inversible, $A^{-1}$ est elle sym\'{e}trique ?
\end{enumerate}

\item : Inverser les matrices suivantes :\newline
$A=\;\left[ 
\begin{array}{rrr}
1 & 1/2 & 1/3 \\ 
1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 
1/4 & 1/5 & 1/6%
\end{array}%
\right] \quad ;\quad B=\;\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
1 & j & j^{2} \\ 
1 & j^{2} & j%
\end{array}%
\right] \;;\;C=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & a & 0 & 0 \\ 
0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & a \\ 
0 & \cdots & 0 & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathfrak{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) \;;$\newline
$\;D=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
a & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 
0 & 0 & a & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) \quad ;\quad E=\;\left[ 
\begin{array}{ccccc}
1 & a & a^{2} & \cdots & a^{n} \\ 
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a^{2} \\ 
\vdots &  & \ddots & \ddots & a \\ 
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n+1}\left( \mathbb{K}\right) \quad ;\quad $\newline
$F=\;\left[ 
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 3 \\ 
\vdots &  & \ddots & \ddots & 2 \\ 
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $

Rep : $A^{-1}=\;2\left[ 
\begin{array}{rrr}
4 & -12 & 10 \\ 
-15 & 60 & -60 \\ 
12 & -54 & 60%
\end{array}%
\right] $ ; $B^{-1}=\dfrac{1}{3}\overline{B}.$

\item D\'{e}terminer l'inverse de $\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 6 \\ 
0 & 0 & 3%
\end{array}%
\right] $ en \'{e}crivant $\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 6 \\ 
0 & 0 & 3%
\end{array}%
\right] .\left[ 
\begin{array}{ccc}
.. & .. & .. \\ 
.. & .. & .. \\ 
.. & .. & ..%
\end{array}%
\right] =\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right] $ sans \'{e}crire aucun calcul interm\'{e}diaire.

Idem pour $\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & a & d & f \\ 
0 & 1 & b & e \\ 
0 & 0 & 1 & c \\ 
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right] $ (n'appliquer cette m\'{e}thode que pour les matrices triangulaires
!).

\item * : Soit $A_{n}=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 
\vdots & \ddots & 1 & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n+1,n}\left( \mathbb{K}\right) $

\begin{enumerate}
\item D\'{e}finir $A_{n}\left( i,j\right) $ pour $1\leqslant i\leqslant n+1$
et $1\leqslant j\leqslant n.$

\item Calculer par r\'{e}currence $A_{n}A_{n-1}...A_{1}.$

\item Calculer $\left[ 1\;1\cdots 1\right] A_{n}.$

\item En calculant $\left[ 1\;1\cdots 1\right] A_{n}A_{n-1}...A_{1}$ de deux
fa\c{c}ons diff\'{e}rentes, retrouver une premi\`{e}re relation classique
entre coefficients binomiaux.

\item Calculer $^{t}$\negthinspace $A_{1}...^{t}$\negthinspace $%
A_{n}A_{n}...A_{1}$ de deux fa\c{c}ons diff\'{e}rentes, et retrouver une
deuxi\`{e}me relation classique entre coefficients binomiaux.
\end{enumerate}

\item : Soit $E\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ une matrice de
projecteur ($E^{2}=E)$ diff\'{e}rente de $I_{n}$ ; on note $\mathcal{A}$
l'ensemble des matrices de la forme $EAE$ avec $A\in \mathcal{M}_{n}\left( 
\mathbb{K}\right) $ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{A}$ est un sous-groupe additif de $\mathcal{M}%
_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ stable pour la multiplication et poss\'{e}%
dant un \'{e}l\'{e}ment neutre pour la multiplication (c'est donc un
anneau), mais que ce n'est pas un sous-anneau de de $\mathcal{M}_{n}\left( 
\mathbb{K}\right) $ avec la d\'{e}finition donn\'{e}e dans le cours.

\item D\'{e}terminer $\mathcal{A}$ pour $E=\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] .$
\end{enumerate}

\item : Soit $G$ l'ensemble des matrices du type : $A=\left[ 
\begin{array}{cc}
1 & a \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right] $ avec $a\in \mathbb{K}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( G,\times \right) $ est un groupe isomorphe \`{a}
un groupe connu.\newline

\item En d\'{e}duire $A^{n}$ $\left( n\in \mathbb{Z}\right) .$
\end{enumerate}

\item : les complexes et les quaternions vus comme des matrices.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}$\ des matrices $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & -b \\ 
b & a%
\end{array}%
\right] $ $(a,b\in \mathbb{R})$ est un corps isomorphe \`{a} $\mathbb{C}$.

\item * : Le corps des quaternions.\newline
Pour $a,b\in \mathbb{C}$, on pose $Q(a,b)=\left[ 
\begin{array}{cc}
a & -b \\ 
\overline{b} & \overline{a}%
\end{array}%
\right] $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $Q(a,b)+Q(c,d)\,$et $Q(a,b)Q(c,d)$ sont encore de la forme 
$Q(u,v)$.

\item Montrer que si $(a,b)\neq (0,0),$ $Q(a,b)$ est inversible et que $%
Q(a,b)^{-1}$ est encore de la forme $Q(u,v).$

\item L'ensemble des \textit{quaternions} est $\mathbb{H}=\left\{
Q(a,b)\;\;/\;\;a,b\in \mathbb{C}\right\} $ ( $\mathbb{H}$ est l'initiale de
Hamilton, qui a d\'{e}couvert cet ensemble) ; montrer que $\mathbb{H}$ est
un sous-anneau de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{C}\right) $ et que c'est m%
\^{e}me un corps contenant comme sous-corps le corps isomorphe \`{a} $%
\mathbb{C}$ du a).

\item Montrer que $\mathbb{H}$ est aussi un sous-espace vectoriel r\'{e}el
de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{C}\right) $ $;$ en donner une $\mathbb{R}-$%
base de la forme $\left( I_{2},J,K,L\right) .$

\item Montrer que les \'{e}l\'{e}ments de la $\mathbb{R}-$base, et leurs
oppos\'{e}s forment un groupe \`{a} huit \'{e}l\'{e}ments pour la
multiplication qui n'est pas isomorphe au groupe cyclique \`{a} 8 \'{e}l\'{e}%
ments ; c'est le \textit{groupe quaternionique}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item : Soit $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ une matrice carr%
\'{e}e nilpotente ; c'est-\`{a}-dire $:\exists m\in \mathbb{N}\quad $ $%
A^{m+1}=0_{n}.$\newline
On pose : $e^{A}=\underset{k\geqslant 0}{\sum }\dfrac{1}{k!}A^{k}$ avec la
convention $A^{0}=I_{n}$ (remarquer que cette somme n'est qu'en apparence
infinie, puisque $A^{k}=0_{n}$ pour $k\geqslant m+1$.)

\begin{enumerate}
\item Calculer $e^{0_{n}}$ et $e^{\left[ 
\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] }.$

\item On suppose que $A$ et $B$ sont nilpotentes et \textbf{commutent} ; d%
\'{e}montrer que $e^{A+B}=e^{A}e^{B}.$

\item En d\'{e}duire que $e^{A}$ est inversible. Quelle est son inverse ?
\end{enumerate}

\item : Soit $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ une matrice
triangulaire sup\'{e}rieure \`{a} diagonale nulle : 
\begin{equation*}
i\geqslant j\Rightarrow A\left( i,j\right) =0.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A^{n}=0_{n}$ (on pourra raisonner en termes
d'endomorphismes).

\item Montrer qu'on a le m\^{e}me r\'{e}sultat pour les matrices
triangulaires inf\'{e}rieures \`{a} diagonale nulle $.$
\end{enumerate}

\underline{Remarque} : ces r\'{e}sultats sont \`{a} retenir, ils sont
souvent utiles.

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit une matrice $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) ,$
montrer que $A$ est non inversible si et seulement s'il existe $X\neq
O_{n,1} $ de $M_{n,1}\left( \mathbb{K}\right) $ tel que $AX=O_{n,1}.$

\item Soient $A,B\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) .$

\begin{enumerate}
\item Montrer en utilisant (a) que $B$ non inversible, implique $AB$ non
inversible.

\item En d\'{e}duire que $A$ non inversible, implique $AB$ non inversible.

\item En d\'{e}duire qu'un produit de matrices carr\'{e}es est inversible si
et seulement si les facteurs du produit sont inversibles. (Remarque : ceci
pouvait aussi se d\'{e}duire de l'exercice 22 sur les applications lin\'{e}%
aires).
\end{enumerate}

\item Soient $A,B\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) .$ Montrer que $%
AB=I_{n}\Leftrightarrow BA=I_{n}.$

\item On suppose que $A,B,C\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ v%
\'{e}rifient $ABC=I_{n}.$ D\'{e}terminer l'inverse de $B$ en fonction de $A$
et $C.$

\item * Soit $A\in \mathcal{M}_{3,2}\left( \mathbb{K}\right) $ et $B\in 
\mathcal{M}_{2,3}\left( \mathbb{K}\right) $ tel que $BA=I_{2}.$ A-t-on n\'{e}%
cessairement $AB=I_{3}$ ? Donner un exemple.
\end{enumerate}

\item : Matrices simplifiables et matrices inversibles.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une matrice $A$ $\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}%
\right) $ inversible est simplifiable (ou r\'{e}guli\`{e}re).

\item Consid\'{e}rons maintenant $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}%
\right) $ non inversible. Montrer en utilisant le r\'{e}sultat de 18. (a)
qu'il existe une matrice $B\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ non
nulle telle que $AB=O_{n}$ ; en d\'{e}duire que $A$ n'est pas simplifiable.

\item Que conclut-on de (a) et (b) ?
\end{enumerate}

\item : M\^{e}me th\`{e}me, par une autre m\'{e}thode ; pour $A$ $\in 
\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ on consid\`{e}re l'application $%
f_{A}$ (resp $g_{A})$ de $\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ dans
lui-m\^{e}me qui \`{a} $X$ fait correspondre $AX$ (resp. $XA).$

\begin{enumerate}
\item Montrer $A$ simplifiable ssi $f_{A}$ et $g_{A}$ injectives.

\item Montrer $A$ inversible ssi $f_{A}$ et $g_{A}$ surjectives (cf exercice
4. sur les lois de composition)

\item En d\'{e}duire $A$ simplifiable ssi $A$ inversible.
\end{enumerate}

\item * : Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace de dimension
finie $n$.

Montrer que $f\circ g=0$ et $f+g$ bijective ssi il existe une base $\mathcal{%
B}$ de $E$ dans laquelle $f$ une matrice form\'{e}e d'une matrice inversible
d'ordre $r$ bord\'{e}e de z\'{e}ros \`{a} droite et en dessous et $g$ a une
matrice form\'{e}e d'une matrice inversible d'ordre $n-r$ bord\'{e}e de z%
\'{e}ros au-dessus et \`{a} gauche.

\item : Soit $A$ $\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) $ ; on suppose
que $A^{2}$ est une combinaison lin\'{e}aire de $A$ et $I_{n}$ : $%
A^{2}=\alpha A+\beta I_{n}$ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A^{p}$ est \'{e}galement une combinaison lin\'{e}aire de $%
A$ et $I_{n}$ pour tout $p\in \mathbb{N}^{\ast }.$

\item Montrer que si $\beta $ est non nul, $A$ est inversible et que $A^{-1}$
est encore combinaison lin\'{e}aire de $A$ et $I_{n}.$

\item Application 1 : soit $A=J_{n}-I_{n},$ o\`{u} $J_{n}$ est la matrice
Attila (envahie par les uns...), avec $n\geqslant 2$. Montrer que $%
A^{2}=\left( n-2\right) A+\left( n-1\right) I_{n}$ ; en d\'{e}duire que $A$
est inversible, et d\'{e}terminer son inverse.

\item Application 2 : montrer que si $n=2$, pour toute matrice $A,\;A^{2}$
est toujours une combinaison lin\'{e}aire de $A$ et $I_{2},$ et retrouver la
formule donnant $A^{-1}$ en utilisant (b).
\end{enumerate}

\item : (g\'{e}n\'{e}ralisation de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent).\newline
Soit $A$ une matrice carr\'{e}e d'ordre $n$ ; on suppose que $A^{q}$ ($%
q\geqslant 1$) est une combinaison lin\'{e}aire de $A^{q-1},A^{q-2}...$ et $%
I_{n}$ : $A^{q}=\alpha _{q-1}A^{q-1}+...+\alpha _{0}I_{n}$ ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A^{p}$ est \'{e}galement une combinaison lin\'{e}aire de $%
A^{q-1},A^{q-2}...$ et $I_{n}$ pour tout $p\geqslant q.$

\item Montrer que si $\alpha _{0}$ est non nul, alors $A$ est inversible et
que $A^{-1}$ est encore combinaison lin\'{e}aire de $A^{q-1},A^{q-2}...$ et $%
I_{n}.$

\item Montrer que si $q=n^{2},$ pour toute matrice $A,\;A^{q}$ est toujours
une combinaison lin\'{e}aire de $A^{q-1},A^{q-2}...$ et $I_{n}$ ( le th\'{e}%
or\`{e}me de Cayley-Hamilton qui sera vu l'ann\'{e}e prochaine prouvera
qu'on peut m\^{e}me prendre $q=n$).
\end{enumerate}

\item : Soit $A$ la matrice $\left[ 
\begin{array}{ccccc}
\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) & \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) & \left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
0%
\end{array}%
\right) & \cdots & \left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
0%
\end{array}%
\right) \\ 
0 & \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) & \left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
1%
\end{array}%
\right) & \cdots & \left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
1%
\end{array}%
\right) \\ 
\vdots & \ddots & \left( 
\begin{array}{c}
2 \\ 
2%
\end{array}%
\right) & \ddots & \vdots \\ 
\vdots &  & \ddots & \ddots & \left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
n-1%
\end{array}%
\right) \\ 
0 & \cdots & \cdots & 0 & \left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
n%
\end{array}%
\right)%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n+1}\left( \mathbb{K}\right) $ de terme g\'{e}n\'{e}%
ral $A\left( i,j\right) =\left( 
\begin{array}{c}
j \\ 
i%
\end{array}%
\right) $, pour $i$ et $j\in \lbrack \left\vert 0,n\right\vert ]$ (avec la
convention classique : $i$ $>j$ $\Rightarrow $ $\left( 
\begin{array}{c}
j \\ 
i%
\end{array}%
\right) =0$)$.$

\begin{enumerate}
\item \'{E}crire $A$ et l'inverser pour $n=2$ et $3$.

\item Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}_{n}\left[ X\right] $ ayant $A$
pour matrice canonique ; calculer $f(X^{j})$ puis $f(P)$ pour $P\in \mathbb{K%
}_{n}\left[ X\right] .$

\item En d\'{e}duire l'inverse de $A$ (m\'{e}thode \`{a} retenir) ; montrer
que $A^{-1}=JAJ$ o\`{u} $J=diag(1,-1,1,-1...).$

\item * D\'{e}terminer la matrice $B=~^{t}AA\,\,$ en utilisant la formule de
convolution sur les coefficients du bin\^{o}me : 
\begin{equation*}
\underset{i+j=k}{\dsum }\left( 
\begin{array}{c}
p \\ 
i%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
q \\ 
j%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
p+q \\ 
k%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
(cf. exercice 27 sur les coefficients binomiaux) et d\'{e}duire de ce qui pr%
\'{e}c\`{e}de une expression de $B^{-1}.$
\end{enumerate}

\item : Soit $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) .$ Supposons que $%
A$ puisse se mettre sous la forme $A=I_{n}-N$ avec $N$ matrice nilpotente
d'indice de nilpotence $p+1$ (c'est-\`{a} dire que $N^{p+1}=0_{n}$ et $%
N^{p}\neq 0_{n}$)$.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $A\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}N^{k}$ (on rappelle que $%
N^{0}=I_{n}).$

\item En d\'{e}duire que $A$ est inversible et donner l'expression de son
inverse (ce r\'{e}sultat est une version matricielle de la formule : $\dfrac{%
1}{1-x}=1+x+x^{2}+...)$.

\item Appliquer \`{a} $\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 
\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & 1%
\end{array}%
\right] \in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right) .$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $A=\left[ 
\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\ 
2 & 3 & 4 & 5 \\ 
3 & 4 & 5 & 6%
\end{array}%
\right] $ ; rappeler pourquoi il existe $P\in GL_{4}\left( \mathbb{K}\right) 
$ et $Q\in GL_{3}\left( \mathbb{K}\right) $ telles que : 
\begin{equation*}
Q^{-1}AP=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}

\item D\'{e}terminer l'un de ces couples $(P,Q)$.\newline
M\'{e}thode : d\'{e}terminer une base $\left( X_{3},X_{4}\right) $ de $\ker
A $ ; compl\'{e}ter en une base $\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) $ de $%
\mathfrak{M}_{4,1}\left( \mathbb{K}\right) $ ; d\'{e}terminer une base $%
\left( AX_{1},AX_{2},Y_{3}\right) $ de $\mathfrak{M}_{3,1}\left( \mathbb{K}%
\right) $ ; $P$ a pour colonnes $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$ et $Q$ a pour
colonnes $AX_{1},AX_{2},Y_{3}.$\newline
R\'{e}ponse : $P=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
0 & 1 & -2 & -3 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right] ,$ $Q=\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\ 
2 & 3 & 0 \\ 
3 & 4 & 0%
\end{array}%
\right] $ par exemple.
\end{enumerate}

\item Soit $p$ un projecteur et $s$ une sym\'{e}trie d'un e.v. de dimension
finie ; montrer que $trace(p)=rg\left( p\right) ,$ et que $trace(s)=rg\left(
s+id\right) -rg\left( s-id\right) .$

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{E}_{n}\right) ,\lambda \in 
\mathbb{K}^{\ast }$ ; montrer que $f^{2}=\lambda f\Leftrightarrow $ il
existe une base o\`{u} la matrice de $f$ est diag$(\lambda ,...,\lambda
,0,...,0)$ (indication : commencer par le cas $\lambda =1).$

\item En d\'{e}duire que pour $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right)
, $ $A^{2}=\lambda A\Leftrightarrow A$ est semblable \`{a} une matrice du
type.....................................

\item Peut on faire $\lambda =0$ dans l'\'{e}nonc\'{e} ci-dessus ?

\item Appliquer b) \`{a} $A=\left[ 
\begin{array}{cccc}
1 & .. & .. & 1 \\ 
.. &  &  & .. \\ 
.. &  &  & .. \\ 
1 & . & . & 1%
\end{array}%
\right] .$
\end{enumerate}

\item : Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{E}\right) $ v\'{e}rifiant $%
f^{3}=f.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\ker \left( f-\lambda id_{\mathbb{E}}\right) $ n'est
pas r\'{e}duit \`{a} $\{\overrightarrow{0}\},$ $\lambda =0,1$ ou $-1.$

\item Montrer que $\mathbb{E=}\ker \left( f-id_{\mathbb{E}}\right) \oplus
\ker \left( f+id_{\mathbb{E}}\right) \oplus \ker f$ ; quelle est la matrice
de $f$ dans une base adapt\'{e}e \`{a} cette d\'{e}composition ?

\item En d\'{e}duire que pour $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right)
, $ $A^{3}=A\Leftrightarrow A$ est semblable \`{a} une matrice du
type.....................................

\item En d\'{e}duire aussi que pour $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{E}%
\right) ,$ $f^{3}=f$ ssi $f$ est le produit commutatif d'une projection et
d'une sym\'{e}trie.
\end{enumerate}

\item Soient $F_{1},F_{2},...,F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{%
E}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si les $F_{i}$ sont non nuls, $F_{1}+\cdots +F_{p}$ est
directe si et seulement si 
\begin{equation*}
\forall \left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},...,%
\overrightarrow{x_{p}}\right) \in F_{1}^{\ast }\times \cdots \times
F_{p}^{\ast }\quad \left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},...,%
\overrightarrow{x_{p}}\right) \text{ est libre.}
\end{equation*}

\item Montrer que\newline
$F_{1}+\cdots +F_{p}$ est directe si et seulement si $\forall i\in \left[ 
\text{\hspace{-0.19cm}}\mid 2,p\mid \text{\hspace{-0.19cm}}\right] \quad
F_{i}\cap \left( \underset{1\leqslant j<i}{\sum }F_{j}\right) =\left\{ 
\overrightarrow{0}\right\} .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
